Le nombre dans l'ordinateur

Le nombre dans l'ordinateur

Quelques éléments plus précis sur le codage des données numériques

Quelle représentation machine des nombres ?

• → Infinity_and_NaN_Arithmetic_Rules La table des règles de gestion des valeurs infinies (+/-oo) et indéfinies lors de calculs sur les flottants. Intéressant pour comprendre le codage le nombre et vérifier les liens avec les calculs symboliques sur les nombres réels à l'infini.

Quelle spécification pour une valeur numérique ?

Une valeur numérique n'est pas un «nombre» mais une quantité définie par

• ses valeurs minimale et maximale,
• une valeur initiale ou "par défaut",
• la précision mesurable,

en plus, le cas échéant, de son unité physique.

Ainsi, le mètre du bricoleur mesure t'il à un millimètre près des longueurs entre 0 et 2 ou 3 mètres, la position d'un point dans une image est donnée à un pixel près entre les bords de l'image, le radar de la prévention routière mesure des vitesse avec une marge d'erreur d'environ 5km/h, etc.

Connaître les bornes min et max d'une valeur est très précieux, que ce soit pour demander à l'utilisateur une valeur qui ne soit pas aberrante, vérifier qu'un calcul n'ait pas divergé, etc.. Connaitre la précision d'une valeur permet de savoir jusqu'à quelle décimale un algorithme doit approximer une solution sans calcul inutile, ou d'ajuster un affichage graphique, etc.

Deux valeurs numériques dont la différence est plus petite que la précision mesurable sont indiscernables. Elles sont peut-être vraiment égales, mais nous n'en saurons rien, puisqu'il est toujours possible qu'elles diffèrent d'une quantité plus petite que la précision mesurable. Si en revanche leur différence est plus grande que la précision mesurable alors on peut affirmer qu'elles ne sont pas similaires.

Ce qui est défini ici dans le cas déterministe se traduit aussi dans le cas stochastique : une valeur aléatoire est définie par sa valeur moyenne m, estimée sur n échantillons et sa dispersion s qui se calcule comme une erreur quadratique moyenne. Ce calcul permet d'affirmer, dans un cas standard, qu'avec une probabilité d'environ 90% la valeur se situe dans un intervalle à peu près [m - 2 s, m + 2 s[ autour de la moyenne.

Mais le problème de la précision entre une valeur numérique "parfaite" et celle obtenue ne se pose pas uniquement lors d'une mesure. Au sein même des calculateurs, des erreurs complexes se propagent et s'agrandissent. Et une très belle idée a alors émergé : celle de considérer que les ordinateurs "calculent toujours faux", mais de se donner des outils pour estimer de combien.